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제목 [RE] 금융수학 기초 질문입니다
등록일 2018-09-29 오전 12:15:20 조회수 234
안녕하세요 이두열입니다.

먼저 로그수익률의 의미를 설명해 드리겠습니다.

로그수익률은 수익률을 계산하는 한 가지 방법입니다.

자산의 수익이 이산복리로 주어진다고 가정하는 경우 통상적인 백분율수익률 (수익금액 / 투자금액)을 이용하면되지만

자산의 수익이 연속복리로 주어진다고 가정하는 경우 로그수익률 공식을 이용하여 수익률을 계산하여야합니다.

다시 말해, 자산의 현재가격과 미래가격, 그리고 이자율 사이에는 특정한 관계식이 성립하므로 이를 이용하여

세가지 중 값 중 두 개가 주어질 때 나머지 하나를 구하는 공식을 유도할 수 있습니다.

만약 현재가격과 미래가격이 주어지는 경우 이자율을 구하는 공식을 유도할 수 있으며 이산복리를 적용하는 경우에는

이미 알고 계신 백분율수익률 공식이 유도됩니다.

만약 연속복리를 적용하는 경우에는 로그수익률이 유도되게 됩니다.

즉 연속복리를 적용하였을 때 현재가격과 미래가격 사이의 관계를 적절히 설명해주는 수익률을 로그수익률이라할 수 있습니다.

연속복리를 적용하는 경우 금융자산의 가격과 관련된 여러가지 공식들을 수학적으로 보다 손쉽게 유도할 수 있어

로그수익률과 함께 널리 이용되고 있습니다.

백분율수익률과의 관계는 수익률의 크기가 작은 경우 그 차이가 미미하나 수익률의 크기가 커지는 경우

둘 사이에 차이가 생기게 됩니다.

예를 들어 백분율 수익률이 1%인 경우 로그수익률은 0.995%로 거의 차이가 없지만

백분율 수익률이 100%인경우 로그수익률은 69.3% 로 그 차이가 30%에 달하게 됩니다.

따라서 일간수익률을 다루는 경우에는 로그수익률과 백분율수익률을 혼용해도 크게 문제가 되지 않으나

수익률측정기간이 그보다 길어지는 경우에는 어떤 수익률에 대해 이야기하고 있는지 명확하게 전달해야

불필요한 오차나 오해가 없어지게 됩니다.


식을 푸는 과정에 관한 질문과 관련하여 정확하게 어떤 공식을 말씀하시는 것인지 분명하지 않으나

일단 제가 생각하는 공식을 상정하고 설명해보도록 하겠습니다.

혹시 다른 공식을 생각하고 계시다면 다시 질문 남겨주시기 바랍니다.

자연로그 ln( )과 exp( ) 함수는 역함수 관계에 있어 다음이 성립합니다.

ln(exp(r)) = r

이를 이용하면 다음과 같이 로그수익률을 유도할 수 있습니다.

S_t = S_0 * exp(r)

S_t / S_0 = exp(r)

ln(St/S0) = r

즉 연속복리를 적용하여 "미래가치 = 현재가치 * exp(로그수익률)" 공식을 이용하는 경우,

이를 이용하여 로그수익률을 유도할 수 있습니다.

추가적으로 도움이 될 만한 공식은 다음과 같습니다.

ln(a * b) = ln(a) + ln(b)

ln(a / b) = ln(a) - ln(b)

이를 이용하면 다음을 설명할 수 있습니다.

ln(St/S0) = r

ln(St) - ln(S0) = r

ln(St) = ln(S0) + r

로그수익률이 정규분포를 따른다고 가정하는 경우, 미래 자산가격에 로그를 씌우면

그 값은 정규분포를 따르는 로그수익률 r에 이미 알고 있는 상수값인 현재 자산가격에 로그를 씌운 값을 더한 것이므로

여전히 정규분포를 따르게 됩니다.

이는 정규분포를 따르는 확률변수에 상수를 더하면 여전히 정규분포를 따른다는 정규분포의 특징에 따른 것입니다.

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